Contém, contêm ou contem?

 As duas palavras existem na língua portuguesa e estão corretas. Contém e contêm são formas conjugadas do verbo conter no presente do indicativo. Estão, contudo, conjugadas em diferentes pessoas.

Contém, com acento agudo, está na 3ª pessoa do singular e contêm, com acento circunflexo, está na 3ª pessoa do plural. Contem, sem acento, não é uma forma conjugada do verbo conter, mas do verbo contar.

O verbo conter é sinônimo de abranger, englobar, incluir, abarcar, comportar, abrigar, controlar, reprimir, moderar, entre outros.
Conjugação do verbo conter no presente do indicativo

(Eu) contenho
(Tu) conténs
(Ele) contém
(Nós) contemos
(Vós) contendes
(Eles) contêm
Exemplos com contém no singular

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    O filho contém o choro sempre que a mãe vai embora.

Exemplos com contêm no plural

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    Os filhos contêm o choro sempre que a mãe vai embora.

Acentuação dos verbos derivados de ter e vir

Na língua portuguesa, os verbos derivados dos verbos ter e vir são conjugados com acento agudo na 3ª pessoa do singular e com acento circunflexo na 3ª pessoa do plural.

Acento agudo no singular:
ele contém;
ele mantém;
ele retém;
ele intervém;
ele provém;
ele advém.

Acento circunflexo no plural:
eles contêm;
eles mantêm;
eles retêm;
eles intervêm;
eles provêm;
eles advêm.
Contém no imperativo

Contém é também a forma conjugada do verbo conter na 2.ª pessoa do singular do imperativo afirmativo.
Conjugação do verbo conter no imperativo afirmativo (negativo)

(Eu) ---
(Tu) contém (contenhas)
(Ele) contenha
(Nós) contenhamos
(Vós) contende (contenhais)
(Eles) contenham
Exemplos com contém no imperativo

    Contém o riso!
    Contém as lágrimas!

Contem: verbo contar

Contem, sem acento gráfico, é a forma conjugada do verbo contar na 3.ª pessoa do plural do presente do subjuntivo, imperativo afirmativo ou negativo. O verbo contar se refere ao ato de fazer um cálculo, narrar uma história, ter em consideração, confiar e ter à disposição. É sinônimo de calcular, enumerar, estimar, computar, determinar, medir, avaliar, relatar, expor, transmitir, divulgar, revelar, ter, dispor, possuir, acreditar e crer.
Exemplos com contem

    Você espera que eles contem a verdade? (presente do subjuntivo)
    Alunos, contem os números até cem. (imperativo)

Atenção: Acentuação anterior ao novo acordo ortográfico!

O Novo Acordo Ortográfico, que entrou em vigor em janeiro de 2009, não trouxe qualquer alteração à acentuação do verbo conter. Já se escrevia assim e devemos continuar escrevendo dessa forma.